NÚMEROS COMPLEXOS¶
Introdução¶
Os números complexos surgem de um problema simples: a equação \(x^2+1=0\) não tem solução dentro dos números reais, porque nenhum real ao quadrado dá \(-1\). Em vez de descartar esse tipo de equação, definimos um novo número, \(i\), que resolve exatamente esse problema, e construímos um sistema numérico inteiro em torno dele — os números complexos — que contém os reais como caso particular e permite resolver qualquer equação polinomial.
Um pouco de história
O nome "imaginário" é um acidente histórico, não uma descrição precisa. Raízes quadradas de negativos apareciam já no século XVI, nas fórmulas de Cardano/Tartaglia para resolver equações cúbicas — curiosamente, mesmo quando a equação tinha três raízes reais, a fórmula passava por um passo intermediário com \(\sqrt{-1}\). Bombelli (1572) foi o primeiro a manipular essas quantidades com regras consistentes, mas só com Euler (que introduziu a notação \(i\)) e, depois, com a interpretação geométrica de Wessel, Argand e Gauss (fim do séc. XVIII/início do XIX) como pontos de um plano, os complexos deixaram de ser vistos como um truque de cálculo e passaram a ser um sistema numérico tão legítimo quanto os reais.
A unidade imaginária¶
Define-se a unidade imaginária \(i\) como uma raiz quadrada de \(-1\):
Potências de \(i\)¶
A partir disso, as potências de \(i\) entram num ciclo de período 4:
Calculando potências de i rapidamente
Para qualquer expoente \(n\), divida \(n\) por \(4\) e olhe só o resto \(r\): \(i^n = i^r\). Exemplo: \(i^{37}\), como \(37 = 4\cdot9+1\), então \(i^{37}=i^1=i\).
Forma algébrica (ou retangular)¶
Um número complexo \(z\) é escrito como:
- \(a = \text{Re}(z)\) é a parte real.
- \(b = \text{Im}(z)\) é a parte imaginária (note que \(b\) é um número real — "parte imaginária" é o coeficiente que multiplica \(i\), não \(bi\) em si).
O conjunto de todos os números complexos é denotado \(\mathbb{C}\). Quando \(b=0\), \(z=a\) é só um número real — ou seja, \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\). Quando \(a=0\) e \(b\neq0\), \(z=bi\) é chamado imaginário puro.
Exemplos
\(z_1 = 3+2i\) tem \(\text{Re}(z_1)=3\) e \(\text{Im}(z_1)=2\).
\(z_2 = -5i\) é imaginário puro, com \(\text{Re}(z_2)=0\) e \(\text{Im}(z_2)=-5\).
\(z_3 = 7\) é um real "disfarçado" de complexo, com \(\text{Im}(z_3)=0\).
Classificação¶
Todo \(z=a+bi\) se encaixa em exatamente uma destas categorias:
| Condição | Classificação |
|---|---|
| \(b=0\) | número real (\(z=a\)) |
| \(a=0\) e \(b\neq0\) | imaginário puro (\(z=bi\)) |
| \(a\neq0\) e \(b\neq0\) | complexo não-real (as duas partes contam) |
| \(a=0\) e \(b=0\) | complexo nulo (\(z=0\)) |
Igualdade¶
Dois complexos são iguais se e somente se têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária:
Isso é o que permite "separar em parte real e imaginária" ao resolver equações com complexos — cada lado tem que bater componente a componente.
Operações básicas¶
Com \(z_1 = a+bi\) e \(z_2=c+di\):
Soma e subtração — some/subtraia parte real com parte real, imaginária com imaginária:
Multiplicação — distribui normalmente, usando \(i^2=-1\):
Exemplo
\((2+3i)(1-4i) = 2\cdot1 + 2\cdot(-4i) + 3i\cdot1 + 3i\cdot(-4i) = 2 - 8i + 3i -12i^2 = 2-5i+12 = 14-5i\)
Divisão — multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador (ver próxima seção), pra eliminar \(i\) do denominador:
Exemplo
\(\dfrac{1+2i}{3-i} = \dfrac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \dfrac{3+i+6i+2i^2}{9+1} = \dfrac{1+7i}{10} = \dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i\)
Conjugado¶
O conjugado de \(z=a+bi\) é \(\bar z = a-bi\) (mesma parte real, parte imaginária com o sinal trocado). Geometricamente, é o reflexo de \(z\) em torno do eixo real.
Propriedades úteis:
A primeira propriedade — o produto de \(z\) pelo conjugado ser sempre real e não-negativo — é exatamente o que torna possível "racionalizar" denominadores complexos na divisão acima, e é a base da definição de módulo a seguir.
Módulo¶
O módulo (ou valor absoluto) de \(z=a+bi\) mede sua distância até a origem no plano complexo:
Propriedades:
Notação: r ou rô?
É comum ver o módulo denotado pela letra grega \(\rho\) (rô) em vez de \(r\) — principalmente a partir da forma polar em diante. São exatamente a mesma coisa: \(\rho = r = |z|\). Este resumo usa \(r\), mas se o seu professor/livro usar \(\rho\), é só trocar o símbolo — nenhuma fórmula muda.
Plano complexo (plano de Argand-Gauss)¶
Como \(z=a+bi\) é determinado por dois números reais, ele pode ser representado como um ponto \((a,b)\) (ou um vetor da origem até esse ponto) num plano cartesiano: o eixo horizontal é o eixo real e o vertical é o eixo imaginário.
- \(\text{Re}(z)\) = coordenada \(x\)
- \(\text{Im}(z)\) = coordenada \(y\)
- \(|z|\) = comprimento do vetor (distância até a origem)
- \(\bar z\) = reflexo de \(z\) no eixo real
- \(-z\) = reflexo de \(z\) na origem (rotação de \(180°\))
O ponto \((a,b)\) que representa \(z\) nesse plano tem um nome: é o afixo de \(z\) (também chamado de "imagem" de \(z\)). Ou seja, "o afixo de \(z=3+4i\)" é simplesmente o ponto \((3,4)\) — é só o termo técnico para a localização geométrica de um complexo. Toda a discussão de módulo, argumento e forma polar a seguir é, no fundo, uma forma de descrever onde fica o afixo de \(z\).
Essa representação geométrica é o que faz os números complexos serem especialmente úteis: soma de complexos é soma vetorial, e — como veremos a seguir — multiplicação tem uma interpretação geométrica igualmente limpa em termos de rotação e escala.
Argumento¶
O argumento de \(z=a+bi\) (não-nulo), denotado \(\arg(z)\) ou \(\theta\), é o ângulo que o vetor \(z\) faz com o semieixo real positivo, medido no sentido anti-horário:
Cuidado com o quadrante
\(\arctan(b/a)\) sozinho só dá o ângulo certo diretamente para \(z\) no primeiro ou quarto quadrante (\(a>0\)). Para \(a<0\), some \(180°\) (\(\pi\) rad) ao resultado; para \(a=0\), o ângulo é \(90°\) ou \(270°\) dependendo do sinal de \(b\). Na prática, é mais seguro desenhar o ponto \((a,b)\) e raciocinar geometricamente, ou usar a função atan2(b,a) de uma calculadora/linguagem de programação, que já trata os quadrantes automaticamente.
\(\arctan\) não é a única forma de calcular \(\theta\) — é só a mais usada porque dá um número direto. O jeito mais fundamental, que não tem ambiguidade de quadrante nenhuma, é usar as duas equações que definem o próprio ponto \((a,b)=(r\cos\theta,\,r\sin\theta)\):
Como \(\cos\theta\) sozinho já diz se \(\theta\) está mais perto do eixo positivo ou negativo, e \(\sin\theta\) sozinho já diz se está "em cima" ou "embaixo", os sinais de \(\cos\theta\) e \(\sin\theta\) juntos identificam o quadrante sem ambiguidade — diferente de \(\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta\), que "perde" essa informação porque \(\tan\) tem o mesmo valor em quadrantes opostos (ex.: \(\tan(45°)=\tan(225°)=1\)). \(\arctan(b/a)\) é justamente a razão \(\sin\theta/\cos\theta\) — daí a necessidade de "consertar" o quadrante na mão depois.
O argumento não é único — \(\theta\) e \(\theta+360°k\) (para qualquer inteiro \(k\)) representam o mesmo ponto, já que somar uma volta completa não muda a direção. O valor de \(\theta\) no intervalo \((-180°,180°]\) (ou \((-\pi,\pi]\)) é chamado argumento principal, e é o que normalmente se usa como "o" argumento de \(z\) quando não se especifica outra coisa.
Forma polar (trigonométrica)¶
Em vez de descrever \(z\) pelas coordenadas \((a,b)\), pode-se descrevê-lo pelo módulo \(r=|z|\) e pelo argumento \(\theta=\arg(z)\) definidos acima:
Convertendo para forma polar
\(z = 1+i\sqrt3\): \(r = \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2} = \sqrt{4} = 2\). Como \(a=1>0\), \(\theta=\arctan(\sqrt3/1) = 60° = \pi/3\).
Logo, \(z = 2(\cos 60° + i\sin 60°)\).
Notação "cis"¶
A expressão \(\cos\theta+i\sin\theta\) aparece tanto que ganhou uma abreviação: \(\text{cis}\,\theta\), lida literalmente como "cosseno imais seno de \(\theta\)" (c-i-s = cos + i + sen). Por definição,
e por isso a forma polar costuma aparecer escrita de forma mais compacta como:
Não é uma fórmula nova nem um conceito diferente — é exatamente \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) de antes, só que "cis \(\theta\)" é mais rápido de escrever do que repetir "\(\cos\theta+i\sin\theta\)" toda vez (vai aparecer bastante nas próximas seções, sobre multiplicação/divisão e nas fórmulas de De Moivre).
Multiplicação e divisão em forma polar¶
A forma polar é o que torna multiplicação/divisão de complexos geometricamente intuitivas: módulos se multiplicam/dividem, argumentos se somam/subtraem.
Com a notação "cis" da seção anterior, fica ainda mais curto de escrever: \(z_1z_2 = r_1r_2\,\text{cis}(\theta_1+\theta_2)\) e \(z_1/z_2 = (r_1/r_2)\,\text{cis}(\theta_1-\theta_2)\).
Ou seja: multiplicar por \(z_2\) é "esticar" por um fator \(r_2\) e "girar" por um ângulo \(\theta_2\). Esse é o motivo pelo qual multiplicar por \(i\) (que tem \(r=1,\ \theta=90°\)) corresponde a girar \(90°\) no plano complexo.
Forma exponencial e fórmula de Euler¶
A fórmula de Euler conecta a exponencial complexa com seno e cosseno:
Combinando com a forma polar, qualquer complexo pode ser escrito na forma exponencial:
Essa forma deixa multiplicação/divisão/potenciação ainda mais diretas, já que viram só álgebra de expoentes:
Identidade de Euler
Um caso particular famoso: fazendo \(\theta=\pi\) na fórmula de Euler, \(e^{i\pi} = \cos\pi+i\sin\pi = -1+0i\), ou seja:
Essa equação é frequentemente citada como uma das mais bonitas da matemática por juntar cinco constantes fundamentais (\(e\), \(i\), \(\pi\), \(1\), \(0\)) e as três operações básicas (soma, multiplicação, potenciação) numa única igualdade.
Potenciação: 1ª Fórmula de De Moivre¶
Elevar um complexo em forma polar/exponencial a uma potência inteira \(n\) é direto:
Essa é a fórmula de De Moivre: eleva o módulo à \(n\)-ésima potência e multiplica o argumento por \(n\).
Por que isso "é" a fórmula de Euler¶
A fórmula de De Moivre não é um fato separado da fórmula de Euler — ela sai direto da fórmula de Euler, bastando elevar os dois lados à potência \(n\). Relembrando Euler, \(\cos\theta+i\sin\theta = e^{i\theta}\). Então:
O passo do meio, \(\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}\), é só a regra de potência de expoentes que já valia pra exponencial real (\((e^x)^n=e^{nx}\)) — Euler garante que ela continua valendo com expoente imaginário. É exatamente isso que faz \(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\) aparecer do lado direito "de graça": a fórmula de Euler é o motivo pelo qual De Moivre funciona, não uma coisa à parte dela. Dito de outro modo: De Moivre é Euler elevado à \(n\)-ésima potência.
Se preferir pensar sem Euler
Dá pra chegar no mesmo resultado só com geometria, sem passar pela exponencial: multiplicar por \(z=r\,\text{cis}\,\theta\) gira o afixo por \(\theta\) e estica por \(r\) (visto na seção de multiplicação em forma polar). Elevar a \(z^n\) é multiplicar \(z\) por si mesmo \(n\) vezes, ou seja, aplicar essa rotação+escala \(n\) vezes seguidas — gira \(n\cdot\theta\) no total e estica por \(r^n\). As duas explicações (via Euler, ou via "rotações que se acumulam") levam exatamente à mesma fórmula.
Exemplo
Calcular \((1+i)^{10}\). Primeiro em forma polar: \(r=\sqrt2\), \(\theta=45°\). Então:
(usei \(450° = 360°+90°\), que dá o mesmo ponto que \(90°\).)
Radiciação: 2ª Fórmula de De Moivre (raízes \(n\)-ésimas)¶
Diferente dos reais, todo número complexo não-nulo tem exatamente \(n\) raízes \(n\)-ésimas distintas. Se \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\), suas \(n\) raízes \(n\)-ésimas são:
Geometricamente, essas \(n\) raízes estão todas sobre um círculo de raio \(\sqrt[n]{r}\), igualmente espaçadas por um ângulo de \(360°/n\) entre si — formam os vértices de um polígono regular de \(n\) lados.
Raízes cúbicas de 8
O que esse exemplo está pedindo: encontrar todo número complexo \(w\) tal que \(w^3=8\). Nos reais, só existe uma resposta (\(w=2\)). Nos complexos, pela 2ª fórmula de De Moivre, existem exatamente \(n=3\) respostas — é isso que vamos calcular.
Passo 1 — escrever \(z=8\) em forma polar. \(8\) é um número real positivo, então no plano complexo seu afixo está sobre o eixo real positivo: \(r=|8|=8\) e \(\theta=0°\). Logo \(z=8(\cos0°+i\sin0°)\).
Passo 2 — aplicar a fórmula das raízes \(n\)-ésimas, com \(n=3\) (queremos raiz cúbica) e \(k=0,1,2\) (são \(n=3\) raízes, então \(k\) vai de \(0\) até \(n-1=2\)):
O módulo de toda raiz é o mesmo, \(\sqrt[3]{8}=2\) — só o ângulo muda com \(k\). Calculando o ângulo pra cada \(k\):
- \(k=0\): ângulo \(=\dfrac{0°+360°\cdot0}{3}=\dfrac{0°}{3}=0°\)
- \(k=1\): ângulo \(=\dfrac{0°+360°\cdot1}{3}=\dfrac{360°}{3}=120°\)
- \(k=2\): ângulo \(=\dfrac{0°+360°\cdot2}{3}=\dfrac{720°}{3}=240°\)
Passo 3 — converter cada raiz de volta pra forma algébrica, usando os valores conhecidos de seno/cosseno:
Conferindo: se elevar qualquer um dos três ao cubo, o resultado tem que dar \(8\) de volta — é assim que se sabe que a conta está certa (tente com \(w_0=2\): \(2^3=8\) ✓).
Só \(w_0=2\) é uma raiz "real" (a mesma que já conhecíamos) — as outras duas, \(w_1\) e \(w_2\), são raízes genuinamente complexas que não existiam nos números reais, mas que valem igualmente como "raiz cúbica de 8". Geometricamente, os três afixos \((2,0)\), \((-1,\sqrt3)\) e \((-1,-\sqrt3)\) ficam todos sobre o círculo de raio \(2\) centrado na origem, espaçados \(120°\) um do outro — ou seja, formam os vértices de um triângulo equilátero inscrito nesse círculo. Isso é geral: as \(n\) raízes \(n\)-ésimas de qualquer complexo sempre formam um polígono regular de \(n\) lados.
Por que isso importa: Teorema Fundamental da Álgebra¶
O motivo histórico/estrutural pelo qual os complexos são tão importantes: o Teorema Fundamental da Álgebra garante que todo polinômio de grau \(n \ge 1\) com coeficientes complexos (em particular, reais) tem exatamente \(n\) raízes em \(\mathbb{C}\), contando multiplicidade. Nos reais isso é falso (\(x^2+1\) não tem raiz real), mas nos complexos é sempre verdade — é nesse sentido que \(\mathbb{C}\) "completa" os reais algebricamente.
Uma consequência prática: polinômios reais com raízes complexas sempre têm essas raízes em pares conjugados. Se \(z=a+bi\) é raiz de um polinômio com coeficientes reais, \(\bar z = a-bi\) também é.
Exemplo
\(x^2-2x+5=0\): usando Bhaskara, \(x = \dfrac{2\pm\sqrt{4-20}}{2} = \dfrac{2\pm\sqrt{-16}}{2} = \dfrac{2\pm4i}{2} = 1\pm2i\).
As duas raízes, \(1+2i\) e \(1-2i\), são conjugadas uma da outra — como esperado, já que os coeficientes do polinômio são reais.
Aplicações¶
Números complexos não são só um exercício abstrato — aparecem em vários lugares por causa exatamente da propriedade de "rotação + escala" vista na forma polar:
- Engenharia elétrica: em circuitos de corrente alternada, resistências, capacitores e indutores são combinados usando uma grandeza complexa chamada impedância (\(Z=R+jX\), onde engenheiros costumam usar \(j\) no lugar de \(i\) para não confundir com corrente). Isso transforma equações diferenciais de circuitos em álgebra complexa simples.
- Processamento de sinais: a Transformada de Fourier, usada para decompor um sinal (áudio, imagem, etc.) em frequências, é definida inteiramente em termos de \(e^{i\theta}\) — a forma exponencial é o que faz essa decomposição funcionar de forma compacta.
- Computação gráfica e rotações 2D: como visto na seção de forma polar, multiplicar por \(e^{i\theta}\) gira um ponto do plano por \(\theta\) — uma forma elegante de representar rotações 2D, análoga ao papel que os quaternions têm para rotações 3D.
- Fractais: o conjunto de Mandelbrot é definido por uma iteração puramente em \(\mathbb{C}\): \(z_{n+1}=z_n^2+c\), testando para quais valores de \(c\in\mathbb{C}\) essa sequência permanece limitada.
- Mecânica quântica: a função de onda que descreve o estado de um sistema quântico é, por definição, uma função de valores complexos — não é só uma conveniência de cálculo, é parte da própria formulação da teoria.
Exercícios Resolvidos¶
Potências de \(i\)¶
Exercício 1
Calcule \(i^{58}\).
Solução. \(58 = 4\cdot14+2\), resto \(2\). Logo \(i^{58}=i^2=-1\).
Exercício 2
Calcule \(i^{15}+i^{20}\).
Solução. \(15=4\cdot3+3 \Rightarrow i^{15}=i^3=-i\). \(20=4\cdot5+0 \Rightarrow i^{20}=i^0=1\). Soma: \(-i+1=1-i\).
Forma algébrica, classificação e igualdade¶
Exercício 3
Classifique \(z_1=4-7i\), \(z_2=9i\), \(z_3=\sqrt2\) e \(z_4=0\) quanto ao tipo (real, imaginário puro, complexo não-real ou nulo).
Solução. \(z_1\): \(a=4\neq0,\ b=-7\neq0\) → complexo não-real. \(z_2\): \(a=0,\ b=9\neq0\) → imaginário puro. \(z_3\): \(b=0\) → real. \(z_4\): \(a=b=0\) → complexo nulo.
Exercício 4
Determine \(x\) e \(y\) reais tais que \((2x-1)+3i = 5+(y+1)i\).
Solução. Pela igualdade de complexos, parte real com parte real e imaginária com imaginária: \(2x-1=5 \Rightarrow x=3\); e \(3=y+1 \Rightarrow y=2\).
Operações na forma algébrica¶
Exercício 5
Calcule \((5-2i)+(3+6i)-(1-i)\).
Solução. Separando partes reais e imaginárias: \((5+3-1)+(-2+6+1)i = 7+5i\).
Exercício 6
Calcule \((3-2i)(4+5i)\).
Solução. \(3\cdot4 + 3\cdot5i -2i\cdot4 -2i\cdot5i = 12+15i-8i-10i^2 = 12+7i+10 = 22+7i\).
Divisão na forma algébrica¶
Exercício 7
Calcule \(\dfrac{5+i}{2-3i}\).
Solução. Multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador, \(2+3i\):
Exercício 8
Simplifique \(\dfrac{1}{i}\).
Solução. Multiplica por \(\dfrac{-i}{-i}\) (ou pelo conjugado de \(i\), que é \(-i\)): \(\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-i}{-i^2} = \dfrac{-i}{1} = -i\).
Interpretação geométrica e módulo¶
Exercício 9
Calcule o módulo de \(z=-6+8i\) e localize-o no plano complexo (indique o quadrante).
Solução. \(|z|=\sqrt{(-6)^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\). Como \(a=-6<0\) e \(b=8>0\), \(z\) está no 2º quadrante.
Exercício 10
Sabendo que \(|z|=5\), que curva no plano complexo é formada por todos os \(z\) que satisfazem essa condição?
Solução. \(|z|=5\) significa que a distância de \(z\) até a origem é sempre \(5\) — ou seja, é a equação de uma circunferência de raio \(5\) centrada na origem.
Argumento¶
Exercício 11
Determine o argumento principal de \(z=-1-i\).
Solução. \(a=-1,\ b=-1\), ambos negativos → 3º quadrante. \(\arctan(b/a)=\arctan(1)=45°\), mas como estamos no 3º quadrante, somamos \(180°\): \(\theta=45°+180°=225°\). Como argumento principal fica em \((-180°,180°]\), equivalentemente \(\theta=225°-360°=-135°\).
Forma polar¶
Exercício 12
Escreva \(z=-4\) na forma polar.
Solução. \(r=|-4|=4\). Como \(z\) está sobre o eixo real negativo, \(\theta=180°\). Logo \(z=4(\cos180°+i\sin180°)\).
Exercício 13
Converta \(z=3(\cos210°+i\sin210°)\) de volta para a forma algébrica.
Solução. \(\cos210°=-\frac{\sqrt3}{2}\), \(\sin210°=-\frac12\). \(z = 3\left(-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12 i\right) = -\frac{3\sqrt3}{2}-\frac32 i\).
Multiplicação e divisão na forma polar¶
Exercício 14
Com \(z_1=2(\cos40°+i\sin40°)\) e \(z_2=5(\cos20°+i\sin20°)\), calcule \(z_1z_2\) e \(z_1/z_2\).
Solução. Multiplicação: módulos multiplicam, argumentos somam: \(z_1z_2=2\cdot5\big(\cos(40°+20°)+i\sin(40°+20°)\big)=10(\cos60°+i\sin60°)\).
Divisão: módulos dividem, argumentos subtraem: \(z_1/z_2=\frac{2}{5}\big(\cos(40°-20°)+i\sin(40°-20°)\big)=0{,}4(\cos20°+i\sin20°)\).
1ª Fórmula de De Moivre (potenciação)¶
Exercício 15
Calcule \(\left(\sqrt3+i\right)^6\).
Solução. Forma polar: \(r=\sqrt{3+1}=2\), \(\theta=\arctan(1/\sqrt3)=30°\). Pela 1ª fórmula de De Moivre:
2ª Fórmula de De Moivre (radiciação)¶
Exercício 16
Determine as raízes quartas de \(z=16\).
Solução. \(z=16(\cos0°+i\sin0°)\), \(r=16\), \(n=4\). \(\sqrt[4]{16}=2\).
As quatro raízes (\(2,\ 2i,\ -2,\ -2i\)) formam um quadrado no plano complexo, como esperado — todas elevadas à quarta dão \(16\).
Resumo de fórmulas¶
| Conceito | Fórmula |
|---|---|
| Unidade imaginária | \(i^2=-1\) |
| Forma algébrica | \(z=a+bi\) |
| Conjugado | \(\bar z = a-bi\) |
| Módulo | \(\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}\) |
| Forma polar | \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) |
| Forma exponencial | \(z=re^{i\theta}\) |
| Fórmula de Euler | \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) |
| De Moivre (potência) | \(z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)\) |
| Raízes \(n\)-ésimas | \(w_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+360°k}{n}+i\sin\frac{\theta+360°k}{n}\right)\) |