Cálculo 1¶
Conjuntos Numéricos¶
Antes de falar de funções, limites e derivadas, vale revisar a notação de conjuntos que aparece o tempo todo em Cálculo. A figura abaixo mostra os conjuntos numéricos clássicos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) e como eles se encaixam uns dentro dos outros.
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Símbolos usuais¶
| Símbolo | Nome | Significado |
|---|---|---|
| \(\cup\) | união | \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\) |
| \(\cap\) | interseção | \(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}\) |
| \(\subset\) | contido | \(A\) é subconjunto de \(B\) |
| \(\supset\) | contém | \(B\) contém \(A\) |
| \(\in\) | pertence | o elemento está no conjunto |
| \(\notin\) | não pertence | o elemento não está no conjunto |
| \(\varnothing\) ou \(\{\}\) | conjunto vazio | conjunto sem elementos |
Exemplo
Se \(A = \{0,2,4,6\}\) e \(B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\), então:
- \(A \cup B = \{0,1,2,3,4,5,6\}\)
- \(A \cap B = \{0,2,4,6\}\)
A figura seguinte ilustra visualmente essas operações com diagramas de Venn.
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Expressões Numéricas¶
Ao resolver uma expressão numérica (uma conta com vários operadores misturados), a ordem das operações segue uma hierarquia fixa, de dentro para fora e da operação "mais forte" para a "mais fraca":
- Parênteses
(), depois colchetes[], depois chaves{}— resolvendo sempre de dentro para fora. - Potências e raízes.
- Multiplicação e divisão (na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita).
- Soma e subtração (na ordem em que aparecem).
Expressões Algébricas¶
Fatoração¶
Quando uma expressão algébrica fica complicada de manipular, o melhor caminho costuma ser fatorá-la — reescrevê-la como um produto de termos mais simples. A ideia geral é agrupar termos que compartilham um fator comum e colocá-lo em evidência, repetindo o processo até não ser mais possível simplificar.
Exemplos de fatoração por agrupamento
1. \(x^6+2x^4y+x^2y+2y^2\)
2. \(x^6+4x^3y+4y^2\)
3. \(x^6-3x^4y+3x^2y^2-y^3\)
Produtos notáveis¶
Esses são atalhos algébricos que vale a pena memorizar, pois aparecem constantemente em simplificações e em cálculo de limites e derivadas:
| Nome | Fórmula |
|---|---|
| Quadrado da soma | \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\) |
| Quadrado da diferença | \((x-y)^2 = x^2-2xy+y^2\) |
| Produto da soma pela diferença | \((x+y)(x-y) = x^2-y^2\) |
| Cubo da soma | \((x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\) |
| Cubo da diferença | \((x-y)^3 = x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\) |
| Soma de cubos | \(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\) |
| Diferença de cubos | \(x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)\) |
Triângulo de Pascal e Binômio de Newton¶
O Triângulo de Pascal é uma ferramenta para encontrar rapidamente os coeficientes que aparecem ao expandir uma potência de um binômio \((x+y)^n\), sem precisar multiplicar tudo manualmente. Cada linha corresponde a um valor de \(n\), e cada número é a soma dos dois números imediatamente acima dele.
N = 0: 1
N = 1: 1 1
N = 2: 1 2 1
N = 3: 1 3 3 1
N = 4: 1 4 6 4 1
N = 5: 1 5 10 10 5 1
N = 6: 1 6 15 20 15 6 1
...
Esses coeficientes são exatamente os números \(\binom{n}{k}\) do Binômio de Newton, a fórmula geral para expandir \((x+y)^n\):
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Exemplos
Determine o coeficiente de \(x^{15}y^5\) em \((x+2y)^{20}\):
Determine o coeficiente de \(x^{17}y^3\) em \((3x+3y)^{20}\):
Importante
Em \((x-y)^n\), é o expoente ímpar do \(y\) que determina qual termo recebe sinal negativo na expansão (já que \((-y)^{\text{ímpar}} < 0\) e \((-y)^{\text{par}} > 0\)).
Polinômios¶
Um polinômio é uma expressão algébrica formada pela soma de monômios (expressões do tipo produto, como \(4x^3\)). Por exemplo, \(p(x) = 4x^3 - x^3 + 2x - 5\) é um polinômio na variável \(x\).
Denotamos por \(\mathbb{R}[x]\) o conjunto de todos os polinômios na variável \(x\) com coeficientes reais:
Exemplo
\(p(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 + 0x + 0\) tem coeficientes \((1,1,3,0,0)\), representados abaixo:
Grau do polinômio¶
O grau de um polinômio é sempre o maior expoente que aparece nele (com coeficiente não nulo):
- \(r(x) = -2x \Rightarrow \text{grau}(r) = 1\)
- \(q(x) = 2 \Rightarrow \text{grau}(q) = 0\)
- \(p(x) = 5x^5 + 2 \Rightarrow \text{grau}(p) = 5\)
Operações com polinômios¶
Adição. Somamos os coeficientes de mesmo grau: se
então
Multiplicação. Multiplicamos cada termo de \(p(x)\) por cada termo de \(q(x)\), somando os expoentes ("chuveirinho"), de modo que o coeficiente do termo de grau \(k\) no produto é a soma de todos os \(a_ib_j\) com \(i+j=k\):
Exemplo
Sejam \(p(x) = x^3 + 2x\) e \(q(x) = 3x^2 + x + 2\). Multiplicando termo a termo:
Note que \(\text{grau}(p \cdot q) = \text{grau}(p) + \text{grau}(q)\). Se \(\text{grau}(p) \neq \text{grau}(q)\), para a soma \(p+q\) vale \(\text{grau}(p+q) = \max\big(\text{grau}(p), \text{grau}(q)\big)\).
Algoritmo da divisão. Sejam \(a(x), d(x) \in \mathbb{R}[x]\) com \(d(x) \neq 0\). Existem únicos \(q(x), r(x) \in \mathbb{R}[x]\) tais que
onde \(d(x)\) é o divisor, \(q(x)\) é o quociente e \(r(x)\) é o resto.
Exemplo
Dividindo \(p(x) = 2x^4 - 3x^2 + x - 2\) por \(d(x) = x^2 - x + 1\):
Resultado: \(q(x) = 2x^2 + 2x - 3\) e \(r(x) = -4x + 1\).
Raízes de polinômio¶
Sejam \(p(x) \in \mathbb{R}[x]\) um polinômio não nulo e \(a \in \mathbb{R}\). Dizemos que \(x = a\) é uma raiz de \(p(x)\) se \(p(a) = 0\).
Exemplo
Para \(p(x) = x^4 - 4x^2 + 2x + 1\), temos que \(x=1\) é raiz (pois \(p(1)=0\)), mas \(x=0\) não é.
Dividindo \(p(x) = x^4 - 4x^2 + 2x + 1\) por \(d(x) = x - 1\):
O resto é \(r(x) = 0\) e o quociente é \(q(x) = x^3+x^2-3x-1\), logo \(p(x) = (x^3+x^2-3x-1)(x-1)\) — confirmando que \(x-1\) é fator de \(p(x)\).
Raiz \(x=a\) versus divisão por \(x-a\)¶
Dividindo \(p(x) \in \mathbb{R}[x]\) por \(x-a\), obtemos \(q(x)\) e \(r(x)\) tais que
com \(r(x)=0\) ou \(\text{grau}(r) < \text{grau}(x-a) = 1\), isto é, \(r(x)\) é uma constante. Avaliando em \(x=a\): \(p(a) = r(a) = r(x)\) (já que \(r\) é constante). Logo:
Desse resultado seguem duas conclusões importantes:
- \(p(a) = 0 \iff (x-a)\) divide \(p(x)\).
- O resto da divisão de \(p(x)\) por \((x-a)\) é exatamente \(p(a)\) — não é preciso fazer a divisão completa só para saber o resto.
Exemplo
\(p(x) = x^5 - 4 = (x^4+x^3+x^2+x+1)(x-1) - 3\), com \(p(1) = -3\).
Dispositivo de Briot-Ruffini¶
O dispositivo de Briot-Ruffini é um algoritmo prático para dividir um polinômio por um binômio do tipo \(x - a\), muito mais rápido do que a divisão polinomial tradicional.
Exemplo: dividir \(p(x) = 3x^3+2x^2+x+5\) por \(d(x)=x+1\)
1. Desenhamos dois segmentos de reta, um horizontal e outro vertical:
2. Colocamos os coeficientes de \(p(x)\) acima do segmento horizontal, à direita do vertical, repetindo o primeiro coeficiente na linha de baixo. À esquerda do vertical colocamos a raiz do binômio (igualando o divisor a zero: \(x+1=0 \Rightarrow x=-1\)):
3. Multiplicamos a raiz pelo coeficiente mais recente da linha de baixo, somamos ao próximo coeficiente de cima, e repetimos até o fim:
Lendo o resultado: na parte inferior, à direita do traço vertical, ficam o quociente e, no último número, o resto. Como \(\text{grau}(p)=3\) e \(\text{grau}(d)=1\), temos \(\text{grau}(q) = 3-1 = 2\), logo \(q(x) = 3x^2 - x + 2\) e \(r(x) = 3\).
Verificando com o algoritmo da divisão: \(3x^3+2x^2+x+5 = (x+1)(3x^2-x+2) + 3\). ✓
Funções¶
Uma função é uma associação entre elementos de dois conjuntos: uma função de \(A\) em \(B\) associa a cada elemento de \(A\) um único elemento de \(B\). Nessa notação \(f: A \to B\), o conjunto \(A\) é o domínio e \(B\) é o contradomínio. Cada elemento de \(B\) que de fato é associado a algum elemento de \(A\) é chamado de imagem; reunindo todas as imagens obtemos o conjunto imagem, que é um subconjunto do contradomínio. No gráfico de uma função, \(f(x)\) representa o eixo \(y\).
Exemplo
Sejam \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) e \(f:A\to B\) dada por \(f(x)=2x\). Então:
Tipos de função¶
Função composta. Dadas duas funções \(f\) e \(g\), podemos combiná-las compondo uma dentro da outra, denotada por \(f \circ g\) ou \(g \circ f\):
Função constante. \(f(x) = C\), com \(C \in \mathbb{R}\). Seu gráfico é uma reta horizontal:
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Função do 1º grau (função afim). \(f(x) = ax+b\), com \(a,b \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\).
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O coeficiente \(a\) é a inclinação da reta (coeficiente angular), relacionado ao ângulo \(\theta\) que a reta forma com o eixo \(x\) por \(a = \tan(\theta)\).
Interseções com os eixos:
- Eixo \(y\): \(x=0 \Rightarrow y=b\)
- Eixo \(x\): \(y=0 \Rightarrow ax+b=0 \Rightarrow x = -b/a\) (raiz ou zero da função)
Caso especial: função linear
Quando \(f(x) = ax\) (ou seja, \(b=0\)), chamamos de função linear. Se além disso \(a=1\), temos a função identidade \(f(x) = x\).
Função do 2º grau (função quadrática). \(f(x) = ax^2+bx+c\). As raízes são encontradas pela fórmula de Bhaskara. O gráfico é uma parábola:
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- \(a>0 \Rightarrow\) concavidade para cima
- \(a<0 \Rightarrow\) concavidade para baixo
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Aqui \(\Delta\) (discriminante) determina quantas interseções a parábola tem com o eixo \(x\).
Interseções com os eixos:
- Eixo \(y\): \(x=0 \Rightarrow y=c\)
- Eixo \(x\): \(y=0 \Rightarrow\) fórmula de Bhaskara
Vértice da parábola (ponto de mínimo ou máximo):
Exemplo
Para \(f(x) = x^2-4x+3\): \(a>0\), \(c=3\), raízes \(x_1=1\) e \(x_2=3\), vértice \(x_v=2\), \(y_v=-1\).
Função exponencial. \(f(x) = a^x\). Quando \(x\) aumenta, a imagem também aumenta (para \(a>1\)).
Função logarítmica. \(f(x) = \log_a x\), com \(a\) real, positivo e \(a \neq 1\). A função logarítmica é a inversa da função exponencial.
Funções invertíveis
Uma função \(f: A \to B\) é invertível se existe \(g: B \to A\) tal que \(g = f^{-1}\). Nesse caso, o domínio \(A\) de \(f\) se torna o contradomínio de \(g\), e o contradomínio \(B\) de \(f\) se torna o domínio de \(g\).
Operações com funções¶
Para a divisão, o domínio resultante é \(D = D(f)\cap D(g)\) (excluindo onde \(g(x)=0\)):
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Composição de funções¶
Dadas duas funções \(f\) e \(g\), a composição de \(f\) com \(g\) é denotada por \(f\circ g\), tal que \((f\circ g)(x) = f(g(x))\).
Limites¶
O limite é a ferramenta central do Cálculo: seu objetivo é determinar o comportamento de uma função \(f(x)\) à medida que \(x\) se aproxima de um determinado valor — mesmo que \(f\) não esteja definida exatamente nesse ponto.
Exemplos
\(f(x) = x+1\):
À medida que \(x\) se aproxima de \(1\), o valor de \(f(x)\) se aproxima de \(2\).
\(f(x) = x^3 - 1\):
À medida que \(x\) se aproxima de \(1\), o valor de \(f(x)\) se aproxima de \(3\).
Definição intuitiva¶
Seja \(f(x)\) uma função definida perto do ponto \(a \in \mathbb{R}\) (mas não necessariamente em \(a\)). Dizemos que \(L \in \mathbb{R}\) é o limite de \(f\) quando \(x\) tende a \(a\) se, tornando \(x\) suficientemente próximo de \(a\) (mas não igual a \(a\)), os valores de \(f(x)\) ficam tão próximos de \(L\) quanto quisermos. O limite de \(f\) quando \(x \to a\) não depende do valor de \(f\) no ponto \(a\) (ele pode nem existir ali). A notação é:
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Exemplo
Propriedades dos limites¶
As propriedades a seguir permitem calcular limites de combinações de funções a partir dos limites das partes (soma, produto, quociente, potência etc.), desde que os limites individuais existam. Sejam \(f\) e \(g\) funções, \(a\in\mathbb{R}\), e suponha que \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) e \(\lim_{x\to a}g(x)=M\). Então:
- \(\lim_{x\to a}[f(x)+g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x) = L+M\);
- \(\lim_{x\to a}[\lambda\cdot f(x)] = \lambda\cdot\lim_{x\to a}f(x) = \lambda\cdot L\), onde \(\lambda\in\mathbb{R}\) é uma constante;
- \(\lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x) = L\cdot M\);
- \(\lim_{x\to a}\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right] = \dfrac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} = \dfrac{L}{M}\), quando \(M\neq0\).
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Exemplos de aplicação
Limites laterais¶
Às vezes o comportamento de \(f(x)\) é diferente conforme nos aproximamos de \(a\) "pela esquerda" (valores menores que \(a\)) ou "pela direita" (valores maiores que \(a\)).
Limite lateral pela esquerda 
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Limite lateral pela direita 
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Exemplo
Uma função \(f\) possui limite em \(a\) se e somente se o limite lateral pela esquerda é igual ao limite lateral pela direita:
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Limites e continuidade¶
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Exemplo
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No item (c) acima, os limites laterais são diferentes, logo não existe o limite naquele ponto; nesses casos, muitas vezes é preciso manipular algebricamente a expressão para conseguir calcular (ou mostrar a inexistência de) um limite.
Propriedades (funções contínuas). Se \(f,g\) são funções contínuas em \(a\), então:
(a) \((f+g)\) e \((f-g)\) são contínuas em \(a\); (b) \((\lambda f)\), com \(\lambda\in\mathbb{R}\), é contínua em \(a\); (c) \(\dfrac{f}{g}\) é contínua em \(a\) quando \(g(a)\neq0\).
Proposição. Se \(f\) é contínua, então \(\lim_{x\to x_0} f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0} g(x)\right)\), quando \(\lim_{x\to x_0}g(x) = a\) (existir) e \(a\in\text{Dom}(f)\).
Exemplo
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Limites no infinito¶
Além de analisar o que ocorre quando \(x\) se aproxima de um número finito, também interessa saber o que acontece com \(f(x)\) quando \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\) — este é o comportamento assintótico da função, essencial para esboçar gráficos.
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Propriedades.
- Se \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) e \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=M\neq0\) (finito), então \(\lim_{x\to+\infty}[f(x)+g(x)]=+\infty\).
- Se \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) e \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=M\neq0, M>0\), então \(\lim_{x\to+\infty}[g(x)\cdot f(x)]=+\infty\); se \(M<0\), o produto tende a \(-\infty\).
- Se \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) e \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\), então \(\lim_{x\to+\infty}[f(x)+g(x)]\) é indeterminado (\(\infty-\infty\)).
- Se \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) e \(\lim_{x\to+\infty}g(x)=0\), então \(\lim_{x\to+\infty}[f(x)\cdot g(x)]\) é indeterminado (\(\infty\cdot0\)).
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O problema da reta tangente¶
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A derivada nasce de um problema geométrico: como encontrar a equação da reta que toca o gráfico de uma função em um único ponto, sem cruzá-lo — a reta tangente.
Exemplo: reta tangente a \(f(x)=4x-x^2\) em \(x=1\)
O ponto de tangência é \(P = (1, f(1))\), com \(f(1) = 4-1 = 3\), logo \(P=(1,3)\).
A equação de uma reta por \(P\) é \(y - y_0 = m(x-x_0)\), com \(x_0=1\) e \(y_0=3\):
Se \(\Delta = 0\) ao substituir a reta na parábola, a reta toca o gráfico em um único ponto — exatamente a condição que caracteriza a tangência.
Exemplo: reta tangente a \(f(x)=x^3\) em \(P=(1,1)\)
Equação da reta por \(P(1,1)\): \(y = m(x-1)+1\).
Outra forma de resolver, usando diretamente \(m = \dfrac{y-y_0}{x-x_0}\):
Exemplo: reta tangente a \(f(x)=x^2-3x\) em \(P=(1,-2)\)
Equação da reta: \(y+2 = m(x-1)\).
A reta tangente como limite de retas secantes¶
A ideia mais poderosa (e que generaliza para qualquer função) é pensar a reta tangente como o limite de retas secantes: traçamos uma reta ligando o ponto de tangência a outro ponto próximo do gráfico, e fazemos esse segundo ponto se aproximar cada vez mais do primeiro.
Foto do quadro
Exemplos
Reta tangente a \(f(x)=x^3\) em \(P=(1,1)\):
Reta tangente a \(f(x)=x^3-4x\) em \(P=(1,-2)\):
Derivada¶
Definição. A derivada de \(f\) no ponto \(x_0\) é o coeficiente angular \(m\) dessa reta tangente, obtido como o limite das inclinações das retas secantes quando o incremento \(h\) tende a \(0\) (conceito de derivada "pela direita"):
Foto do quadro
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Ou seja, a derivada é igual ao coeficiente \(m\); porém, ela é denotada \(f'(x_0)\).
Exemplos
Derivada de \(f(x)=x^2\) em \(x_0=0\):
Derivada de \(f(x)=x^4-3x+5\) em \(x_0=1\):
Função derivada. Em vez de calcular a derivada em um ponto fixo, podemos deixar \(x_0\) genérico e obter uma nova função \(f'(x)\), que associa a cada ponto do domínio a inclinação da reta tangente ali:
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Aqui também \(h\) sempre tende a \(0\). É a função derivada \(f'(x)\) que fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) em qualquer ponto.
Derivadas de funções elementares.
a) \(f(x)=1 \rightsquigarrow f'(x)=0\)
b) \(f(x)=2x-1 \rightsquigarrow f'(x)=2\)
c) \(f(x)=x^2 \rightsquigarrow f'(x)=2x\)
d) \(f(x)=x^5 \rightsquigarrow f'(x)=5x^4\)
e) \(f(x)=x^\pi \rightsquigarrow f'(x)=\dfrac{\pi x^\pi}{x}\)
f) \(f(x)=\sqrt{x} \rightsquigarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
Em qualquer item acima, \(f'(1)\) é a inclinação da reta tangente ao gráfico de \(f\) no ponto \((1,1)\).
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Exemplos
Item (b): 
Item (f): 
Regras de derivação¶
Regra do tombo (regra da potência): para derivar \(x^n\), "desce" o expoente como coeficiente e subtrai \(1\) dele.
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Exemplos
Outras regras. Sejam \(f,g:(a,b)\to\mathbb{R}\) duas funções definidas no intervalo \((a,b)\). Então:
- \([f(x)+g(x)]' = f'(x)+g'(x)\) e \([f(x)-g(x)]' = f'(x)-g'(x)\);
- \([\lambda\cdot f(x)]' = \lambda\cdot f'(x)\), para \(\lambda\in\mathbb{R}\) um número real fixado;
- Regra do produto: \([f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\);
- Regra do quociente: \(\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]' = \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}\), nos pontos em que \(g(x)\neq0\).
Também vale lembrar que a derivada de uma constante é sempre \(0\): \((c)'=0\).
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Regra da cadeia (ou regra da função composta). Considere o problema de derivar \(y = (x^3+2)^4\):
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Atribuímos \(u = x^3+2\), de modo que \(y = u^4\):
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Em outras palavras: \(y' = f'(u)\cdot u'\).
Observação
Sempre que possível, transforme a raiz em uma potência antes de derivar (ex.: \(\sqrt{x} = x^{1/2}\)) — isso simplifica bastante a aplicação das regras.
Exemplos
Derivada de \(f(x) = 4x^3-2x+5\):
Derivada de \(f(x) = \dfrac{2x-3}{1-x}\):
Derivada de \(f(x) = \dfrac{(x^2+1)^5}{x^3+x+1}\):
Derivada de \(f(x) = (x^3+2)^{100}\):
Encontre \(P\) e \(Q\) pertencentes a \(g(x) = 2x^3-3x^2-3x\) onde as retas tangentes sejam paralelas a \(y=3x-2\):
Se as retas tangentes de \(g(x)\) são paralelas a \(y\), e o coeficiente angular (derivada) de \(y\) é \(3\), então \([g(x)]' = 3\):
Resolvendo por Bhaskara:
Portanto, os pontos \(P\) e \(Q\) são:
Trigonometria¶
A trigonometria entra em Cálculo 1 principalmente para derivar e integrar funções como \(\sin x\), \(\cos x\) e \(\tan x\) — mas antes disso vale revisar as relações básicas do triângulo retângulo e do círculo trigonométrico.
Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo¶
As relações métricas relacionam os lados (cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa) de um triângulo retângulo entre si (incluindo o Teorema de Pitágoras):
Foto do quadro
Já as relações trigonométricas relacionam esses lados aos ângulos internos do triângulo (seno, cosseno, tangente):
Foto do quadro
Arcos notáveis¶
Os arcos notáveis (\(30°\), \(45°\) e \(60°\), ou \(\pi/6\), \(\pi/4\) e \(\pi/3\) em radianos) têm valores de seno, cosseno e tangente que vale a pena memorizar, pois aparecem o tempo todo:
Foto do quadro
Aplicações¶
Foto do quadro
Círculo trigonométrico¶
O círculo trigonométrico (círculo de raio \(1\) centrado na origem) é a ferramenta que generaliza seno e cosseno para qualquer ângulo, não só os de um triângulo retângulo — incluindo ângulos negativos ou maiores que \(90°\).
Foto do quadro
Foto do quadro
Por convenção, o 1º quadrante é o superior direito e o 4º quadrante é o inferior direito (seguindo o sentido anti-horário a partir do eixo \(x\) positivo).
Funções trigonométricas¶
Fotos do quadro
Gráficos:
Identidades trigonométricas¶
As identidades trigonométricas são igualdades que valem para todo ângulo (dentro do domínio), fundamentais para simplificar expressões antes de derivar, integrar ou calcular limites trigonométricos:
Fotos do quadro
Teorema do confronto¶
O Teorema do Confronto (ou squeeze theorem) diz que se \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) perto de \(a\), e \(\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L\), então \(\lim_{x\to a} f(x) = L\) também — a função \(f\) fica "espremida" entre \(g\) e \(h\) e é forçada a convergir para o mesmo limite. É exatamente essa ideia que permite demonstrar o limite trigonométrico fundamental abaixo.
Foto do quadro
Limite trigonométrico fundamental¶
Foto do quadro
Exemplos
— outro limite trigonométrico fundamental.
— outro limite trigonométrico fundamental.
Derivadas de funções trigonométricas¶
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Demonstração
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Demonstração
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Demonstração
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Demonstração
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Demonstração
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Demonstração
Tabela para decorar:
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(\text{sen}(x)\) | \(\cos(x)\) |
| \(\cos(x)\) | \(-\text{sen}(x)\) |
| \(\text{tg}(x)\) | \(\sec^2(x)\) |
| \(\text{cotg}(x)\) | \(-\text{cossec}^2(x)\) |
| \(\sec(x)\) | \(\text{tg}(x)\sec(x)\) |
| \(\text{cossec}(x)\) | \(-\text{cotg}(x)\,\text{cossec}(x)\) |
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Outras derivadas importantes¶
Derivada da função \(e^x\). O número de Euler (ou de Neper), \(e \cong 2{,}718281828459045\), é definido pelo Limite Exponencial Fundamental: \(\lim_{x\to+\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x = e\), equivalente ao limite \(\lim_{h\to0}\dfrac{e^h-1}{h}=1\). Usando essa equivalência para derivar \(e^x\) pela definição:
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Se \(x\) é uma função derivável, então \([e^x]' = x' \cdot e^x\).
Derivada da função \(\ln(x)\) (logaritmo natural de \(x\)). Considere a função \(\ln(x) \overset{\text{def}}{=} \log_e(x)\), definida para \(x>0\). Mostra-se que:
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Se \(x\) é uma função derivável, então \([\ln(x)]' = x' \cdot \dfrac{1}{x}\).
Observação sobre \(\ln(x)\)
\(\ln(x)\) é o logaritmo natural de \(x\), ou seja, \(\log_e(x)\). Por exemplo, \(\ln(1) = \log_e(1) = 0\), pois existe \(x\) tal que \(e^x = 1\) (nesse caso, \(x=0\)).
Derivada de uma constante elevada a uma função (\(a^x\)).
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Exemplos
Se \(x\) é uma função derivável, então \([a^x]' = x' \cdot a^x \cdot \ln(a)\).
Derivada de uma função elevada a outra função (requer derivação logarítmica):
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Exemplo
Derivada de logaritmo em base genérica.
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Exemplos
Mais exemplos (regra da cadeia com funções trigonométricas e exponenciais)
\(z = \sin(x^2)\):
Derivada da função inversa¶
Definição (função inversa). Seja \(f:A\to B\) uma função; dizemos que \(g:B\to A\) é a função inversa de \(f\) se \(g\circ f = id_A\) e \(f\circ g = id_B\). Notação: \(g=f^{-1}\).
Exemplos
Se \(f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+\) é dada por \(f(x)=x^2\), então \(f^{-1}:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+\) é dada por \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) (de fato, \((\sqrt x)^2=x\) e \(\sqrt{x^2}=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}_+\)).
Se \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^*\) é dada por \(g(x)=e^x\), então \(g^{-1}:\mathbb{R}_+^*\to\mathbb{R}\) é dada por \(g^{-1}(x)=\ln(x)\) (de fato, \(\ln(e^x)=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), e \(e^{\ln(x)}=x\) para todo \(x\in\mathbb{R}_+^*\)).
Proposição (derivada da função inversa). Se \(f^{-1}\) é a função inversa de \(f\), então:
Exemplos
Quando \(f(x)=x^3\), \(f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\). Assim:
Quando \(f(x)=e^x\), \(f^{-1}(x)=\ln(x)\). Assim:
(confirmando, por este caminho alternativo, o resultado já visto acima.)
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Derivadas das funções trigonométricas inversas:
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Gráfico: 
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Gráfico: 
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Gráfico: 
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Derivação implícita¶
Quando uma relação entre \(x\) e \(y\) não está escrita explicitamente como \(y=f(x)\) (por exemplo, uma circunferência \(x^2+y^2=r^2\)), ainda é possível derivar ambos os lados em relação a \(x\), tratando \(y\) como função de \(x\) e aplicando a regra da cadeia sempre que \(y\) aparecer.
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Observações gerais sobre derivação
- Ao usar a regra da cadeia, preste atenção não só nas fórmulas, mas na lógica: separe a derivada em "função" e "coeficiente/interior", pois a regra da cadeia é sempre "derivada de fora vezes derivada de dentro". Por isso, a derivada de uma função composta é sempre a derivada da função externa multiplicada pela derivada do seu argumento interno.
- Uma função é duas vezes diferenciável se tanto ela quanto sua derivada são diferenciáveis. Se uma função é diferenciável em um ponto, sua derivada existe ali.
- Conjugação de raiz cúbica (a lógica se estende a raízes de outros índices) é útil para calcular certos limites e derivadas que envolvem \(\sqrt[3]{\cdot}\):
Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano)¶
Este é uma propriedade das funções contínuas: se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e \(N\) é um valor entre \(f(a)\) e \(f(b)\), então existe pelo menos um \(c \in [a,b]\) tal que \(f(c) = N\). Intuitivamente, uma função contínua não pode "saltar" de um valor a outro sem passar por todos os valores intermediários.
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Toda função polinomial é contínua em \(\mathbb{R}\). Uma consequência prática muito usada: para provar que uma função possui uma raiz em um intervalo, basta encontrar um ponto onde \(f(x)\) é positivo e outro onde \(f(x)\) é negativo — pelo TVI, deve existir uma raiz entre eles.
Exemplo
Teorema do Valor Extremo (ou Teorema de Weierstrass)¶
O Teorema do Valor Extremo garante que toda função contínua em um intervalo fechado \([a,b]\) atinge um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto nesse intervalo (não necessariamente nas extremidades).
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Para entender esse teorema, é importante diferenciar extremos absolutos de extremos locais:
- Máximo/mínimo absoluto: dada \(f(x)\), \(f(c)\) é o valor máximo absoluto se \(f(c) \ge f(x)\) para todo \(x\) no domínio da função; é o valor mínimo absoluto se \(f(c) \le f(x)\) para todo \(x\) no domínio.
- Máximo/mínimo local: \(f(c)\) é um máximo (ou mínimo) local se a desigualdade correspondente vale apenas em um intervalo aberto ao redor de \(c\), não necessariamente em todo o domínio.
Note
Todo extremo absoluto é também um extremo local, mas o contrário não é verdade: nem todo extremo local é absoluto.
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Ponto crítico. É um ponto \(x\) no domínio de \(f\) em que \(f'(x) = 0\) ou \(f'(x)\) não existe. Candidatos a extremos absolutos estão sempre entre os pontos críticos e as extremidades do domínio.
- Quando \(f'(x) = 0\) em um ponto que não é extremo, ele costuma ser um ponto de inflexão (ponto onde a curvatura troca de sinal — de concavidade para cima para concavidade para baixo, ou vice-versa).
- Quando \(f'(x)\) não existe em um ponto, isso costuma indicar uma descontinuidade ou um "bico" no gráfico.
Exemplos
Logo, para \(x = 3/2\) temos o valor mínimo de \(1\), e para \(x=1\) e \(x=2\) temos o valor máximo de \(2\).
Teorema do Valor Médio¶
Teorema de Rolle¶
O Teorema de Rolle é um caso particular (e serve de base para demonstrar) o Teorema do Valor Médio: se \(f\) é contínua em \([a,b]\), derivável em \((a,b)\) e \(f(a)=f(b)\), então existe \(c \in (a,b)\) tal que \(f'(c) = 0\) — ou seja, em algum ponto entre \(a\) e \(b\) a função tem tangente horizontal.
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Teorema do Valor Médio¶
Generalizando Rolle: se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e derivável em \((a,b)\), então existe \(c \in (a,b)\) tal que
Ou seja, existe um ponto onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta secante que liga \((a,f(a))\) a \((b,f(b))\).
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Representação geométrica do teorema:
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Consequências:
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Exemplo
Como \(f(x)\) é uma função polinomial, ela é contínua; além disso, é derivável no intervalo \([1,3]\). Logo, as condições do Teorema do Valor Médio estão atendidas.
Sinal da 1ª derivada¶
O sinal de \(f'(x)\) indica se a função está crescendo ou decrescendo: se \(f'(x) > 0\) em um intervalo, \(f\) é crescente ali; se \(f'(x) < 0\), \(f\) é decrescente.
Condições:
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Exemplo: onde \(f(x) = 3x^4-4x^3-12x^2+5\) é crescente e onde é decrescente
Gráfico:
Pelo gráfico, fica fácil perceber que \(f(x)\) possui vários pontos críticos, configurando máximos ou mínimos locais — ou seja, pode existir mais de um "\(c\)" ao longo do domínio da função.
Teste da primeira derivada (critério para classificar pontos críticos em máximos ou mínimos locais a partir da troca de sinal de \(f'\)):
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Em outras palavras:
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Gráficos:
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Sinal da 2ª derivada¶
A segunda derivada, \(f''(x)\), descreve a concavidade do gráfico: \(f''(x) > 0\) indica concavidade para cima, \(f''(x) < 0\) indica concavidade para baixo.
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Exemplo
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Os pontos em que ocorre mudança de concavidade são chamados de pontos de inflexão (pontos em que \(f''(x)=0\) e a concavidade troca de sinal).
Exemplo
Neste gráfico há um ponto de inflexão: a curva no intervalo \((0,12)\) é côncava para cima, e a partir do intervalo \((12,18)\) passa a ser côncava para baixo.
Teste da segunda derivada (critério alternativo ao teste da primeira derivada para classificar pontos críticos):
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Diferentemente do teste da primeira derivada, aqui a derivada no ponto crítico \(c\) precisa estar definida (não pode ser um ponto onde \(f'\) não existe).
Exemplo: máximos e mínimos relativos de \(f(x) = -4x^3+3x^2+15\)
Problemas de otimização¶
Problemas de otimização usam derivadas para encontrar o maior ou menor valor possível de uma grandeza (área, volume, custo, tempo...) sujeita a alguma restrição. A estratégia geral é: escrever a grandeza a otimizar como função de uma única variável, derivar, encontrar os pontos críticos e verificar qual deles corresponde ao máximo/mínimo desejado dentro do domínio válido do problema.
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Exemplo
Exemplo: caixa de volume máximo
Igualando a zero: \(12x^2 - 320x + 1500 = 0 \Rightarrow 3x^2 - 80x + 375 = 0\).
Esse valor não é possível no problema: \(x_1 \approx 20\), mas precisaríamos de \(2x < 30\), o que seria um absurdo.
O domínio de \(V(x)\) é \((0,15)\). Nos extremos do domínio, \(\lim_{x\to 0}V(x) = 0\) e \(\lim_{x\to 15}V(x) = 0\) — ou seja, quando \(x\) tende aos extremos, o volume tende a zero.
Calculando: \(V(6{,}07) \approx 4104\ \text{cm}^3\), que é o ponto máximo da função. Logo, o valor de \(x\) que maximiza o volume é \(x \approx 6{,}07\).
Exemplo
Regra de L'Hôspital¶
Quando o cálculo direto de um limite resulta em uma forma indeterminada — tipicamente \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\) — a Regra de L'Hôspital permite derivar separadamente o numerador e o denominador e calcular o limite da nova razão:
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Se a forma indeterminada persistir após derivar uma vez, podemos aplicar a regra novamente, derivando quantas vezes forem necessárias.
Exemplos
Assíntotas¶
Assíntotas são retas que o gráfico de uma função se aproxima indefinidamente, sem necessariamente tocá-la, e descrevem o comportamento da função perto de pontos onde ela "explode" ou no infinito.
Assíntotas verticais¶
Uma assíntota vertical ocorre em valores de \(x\) onde a função "explode" para \(+\infty\) ou \(-\infty\) — tipicamente onde o denominador de uma expressão se anula.
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Se o denominador do limite for igual a \(0\) (e o numerador não), temos uma assíntota vertical. O foco aqui está no "\(x\)": procuramos os valores de \(x\) que anulam o denominador.
Exemplo
Assíntotas horizontais¶
Uma assíntota horizontal descreve o valor para o qual \(f(x)\) se aproxima quando \(x \to \pm\infty\).
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Aqui o foco está no "\(y\)": calculamos \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)\).
Exemplo
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Assíntotas oblíquas¶
Funções racionais. Para calcular a assíntota oblíqua de uma função racional, basta dividir o polinômio do numerador pelo do denominador até chegar à forma irredutível; o quociente dessa divisão é a assíntota oblíqua. Existe assíntota oblíqua quando o grau do polinômio de cima é exatamente uma unidade maior que o grau do polinômio de baixo, e ela vale tanto para \(+\infty\) quanto para \(-\infty\).
Exemplo
Funções não racionais.
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Para funções não racionais, é preciso calcular separadamente o comportamento para \(+\infty\) e \(-\infty\). Se o coeficiente angular \(m\) obtido for igual a \(0\), a assíntota é, na verdade, horizontal.
Exemplo
Logo, \(y = 1/2\) é uma assíntota horizontal.
Logo, \(y = -2x - 1/2\) é uma assíntota oblíqua.
Integral¶
A integral definida: o problema da área¶
A integral nasce do problema de calcular a área sob o gráfico de uma função entre dois pontos. A estratégia é aproximar essa área por uma soma de retângulos finos cada vez mais estreitos, e tomar o limite dessa soma quando o número de retângulos tende ao infinito.
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Ou seja: calcular a integral é calcular a área sob a curva.
Notação¶
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- \(\int\) — símbolo da integral
- \(a\) — limite inferior da integração
- \(b\) — limite superior da integração
- \([a,b]\) — intervalo fechado onde calculamos a área
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- \(f(x)\) — função a integrar
- \(dx\) — diferencial de \(x\) (variável independente)
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Formalmente, a integral é definida como a soma de Riemann:
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onde \(f(x_i^*)\) é o valor de \(f\) na extremidade direita do subintervalo \([x_{i-1}, x_i]\) (a "altura" de cada retângulo), e \(\Delta x = \dfrac{x_i - x_{i-1}}{n}\) é a "base" de cada retângulo. Portanto, a integral de \(f(x)\) em \([a,b]\) é o limite, quando \(n \to \infty\), da soma de todas essas pequenas áreas retangulares, cada uma dada pela multiplicação da base (\(\Delta x\)) pela altura (\(f(x_i^*)\)).
Exemplo: calcule
Fórmula de Faulhaber
Seja \(n, p \in \mathbb{Z}_{+}^{*}\) (inteiros positivos, excluindo o zero). A fórmula de Faulhaber dá uma expressão fechada para a soma \(1^p + 2^p + \dots + n^p\):
Onde \(p\) é a potência à qual os números estão elevados, \(n^{p+1-i}\) é o último termo, e \(B_i\) é o \(i\)-ésimo número de Bernoulli.
Números de Bernoulli
São uma sequência de números racionais com diversas conexões em teoria dos números. Podem ser calculados de duas formas:
Fórmula de recorrência:
Se \(n\) é ímpar e maior que \(1\), então \(B_n = 0\).
Fórmula usando a função zeta de Riemann:
onde \(\zeta(n)\) é a função zeta de Riemann:
Sequência dos primeiros números de Bernoulli:
E assim por diante.
O que estava "sobre \(n\)" pode ser cortado no limite, sem interferir no resultado final.
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Teorema:
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Teorema fundamental do cálculo¶
O Teorema Fundamental do Cálculo é a ponte entre derivadas e integrais: ele diz que, para calcular uma integral definida, basta encontrar uma primitiva (antiderivada) da função e avaliá-la nos extremos do intervalo.
Se \(f\) for uma função contínua no intervalo \([a,b]\), então a função \(F:[a,b]\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x)=\int_a^x f(t)\,dt\), com \(a\le x\le b\), é contínua em \([a,b]\) e derivável em \((a,b)\). Além disso, \(F'(x)=f(x)\), ou seja:
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Outra forma de aplicar (quando os limites de integração são funções de \(x\)): se \(F(x) = \int_{q(x)}^{p(x)} f(t)\,dt\), então
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Aqui, \(f(p(x))\) significa substituir \(p(x)\) no lugar de \(t\), e \(f(q(x))\) significa substituir \(q(x)\) no lugar de \(t\).
Primitiva. Uma primitiva (ou antiderivada) de \(f(x)\) é uma função \(F(x)\) tal que \(F'(x) = f(x)\).
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Como achar a primitiva do tipo \(x^n\) (regra inversa à regra do tombo):
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Propriedades da integral:
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Exemplos de integrais
Primeira forma: 
Segunda forma: 
Áreas de regiões entre gráficos¶
Quando a região de interesse está delimitada por duas curvas (não apenas pelo eixo \(x\)), a área entre elas é a integral da diferença entre a função "de cima" e a função "de baixo" no intervalo de interseção.
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Exemplos
Mais exemplos
Tabela de integrais definidas:
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Técnicas de integração¶
Integração por substituição¶
A ideia é identificar uma parte da expressão como uma nova variável \(u\), de modo que a integral se simplifique em termos de \(u\) e \(du\) — é essencialmente a regra da cadeia "ao contrário".
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Exemplos
Integração por partes¶
Usada quando o integrando é um produto de duas funções de tipos diferentes (ex.: polinômio vezes exponencial), a integração por partes se baseia na regra do produto da derivada "ao contrário":
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Exemplos
Integrais trigonométricas¶
Produtos e potências de funções trigonométricas (como \(\sin^m x \cos^n x\)) têm técnicas específicas, geralmente baseadas em identidades trigonométricas que reduzem a potência ou trocam a função por sua "complementar".
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Exemplos
Regra da potência do cosseno ímpar: 
Regra da potência do seno e cosseno pares: 
Regra da potência do seno ímpar: 
Regra da potência do seno e cosseno pares: 
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Quando aparecer apenas \(\tan(x)\) ou \(\cot(x)\) na integral, utilize essa fórmula trigonométrica para reescrever o integrando em termos de \(\sec\) ou \(\csc\).
Exemplos
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Quando aparecer apenas \(\sec(x)\) ou \(\csc(x)\), utilize esse macete.
Exemplos
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Técnica para calcular a integral de \(\tan(x)\sec(x)\), que também serve para \(\csc(x)\cot(x)\).
Exemplos
Substituição trigonométrica¶
Quando o integrando contém expressões do tipo \(\sqrt{a^2-x^2}\), \(\sqrt{a^2+x^2}\) ou \(\sqrt{x^2-a^2}\), substituir \(x\) por uma função trigonométrica (seno, tangente ou secante, respectivamente) elimina a raiz usando identidades pitagóricas.
Tabela de substituições trigonométricas:
| Expressão | Substituição | Identidade resultante | Diferencial |
|---|---|---|---|
| \(\sqrt{a^2-x^2}\) | \(x=a\,\text{sen}(t)\) | \(\sqrt{a^2-x^2}=a\cos(t)\) | \(dx=a\cos(t)\,dt\) |
| \(\sqrt{x^2+a^2}\) | \(x=a\,\text{tg}(t)\) | \(\sqrt{x^2+a^2}=a\sec(t)\) | \(dx=a\sec^2(t)\,dt\) |
| \(\sqrt{x^2-a^2}\) | \(x=a\sec(t)\) | \(\sqrt{x^2-a^2}=a\,\text{tg}(t)\) | \(dx=a\sec(t)\text{tg}(t)\,dt\) |
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Exemplos
Primeira forma: 
Segunda forma: 
Área da elipse (aplicação clássica da substituição trigonométrica):
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Frações parciais¶
Técnica usada para integrar funções racionais do tipo \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\).
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A ideia é decompor a fração em uma soma de frações mais simples, cujos denominadores são os fatores do denominador original, e integrar cada parcela separadamente.
Caso em que apenas o denominador é fatorável:
Exemplos
Caso em que numerador e denominador são ambos funções (grau do numerador \(\ge\) grau do denominador).
Quando isso ocorre, primeiro dividimos o numerador pelo denominador:
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Onde \(P(x)\) é o dividendo, \(S(x)\) é o quociente, \(Q(x)\) é o divisor e \(R(x)\) é o resto. Depois, se possível, fatoramos completamente o denominador \(Q(x)\) e, por fim, decompomos em frações parciais, encontrando os coeficientes:
Caso I — fatores lineares distintos: o denominador \(Q(x)\) é um produto de fatores lineares distintos, ou seja, \(Q(x)=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)\cdots(a_kx+b_k)\), onde nenhum fator é repetido (nem múltiplo constante do outro). Nesse caso, existem constantes \(A_1,A_2,\dots,A_k\) tais que:
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Exemplo
Caso II — fatores lineares repetidos: \(Q(x)\) é um produto de fatores lineares, e alguns se repetem. Suponha que o fator \((a_1x+b_1)\) se repita \(r\) vezes; então, em vez de um único termo \(A_1/(a_1x+b_1)\), usamos:
Por exemplo: \(\dfrac{x^3-x+1}{x^2(x-1)^3} = \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2}+\dfrac{C}{x-1}+\dfrac{D}{(x-1)^2}+\dfrac{E}{(x-1)^3}\).
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Exemplo
Caso III — fatores quadráticos irredutíveis, nenhum repetido: se \(Q(x)\) tiver o fator \(ax^2+bx+c\), onde \(b^2-4ac<0\), então, além das frações parciais dos Casos I/II, a expressão para \(R(x)/Q(x)\) terá um termo da forma \(\dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}\), onde \(A\) e \(B\) são constantes a determinar. Por exemplo, \(f(x)=\dfrac{x}{(x-2)(x^2+1)(x^2+4)}\) tem decomposição \(\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}+\dfrac{Dx+E}{x^2+4}\).
Esse tipo de termo pode ser integrado completando o quadrado (se necessário) e usando a fórmula \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\tan^{-1}\!\left(\frac xa\right)+C\).
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Exemplo
Exemplos completos
